日期：2015-01-03 10:28:42

属于星星的几何学

下面，让我们跟随两位勇敢的先行者，借助两个神奇的三角形，钻入违反常理的非欧乐园吧。结识几何学之初，相信每个人都从欧几里得那本比《启示录》还要古老的典籍中读到过一条真理：“三角形的内角之和等于180°”。在任何平铺的白纸上，无论画出多少直角、锐角、钝角三角形，测量其内角之和必定不多不少恰好等于180°；还可以把纸卷起来，弯成粗筒、细筒、三角锥……一切你能够开发的奇形怪状，画在纸面的三角形并不会“掉”下来，也就是说，各内角之和依然保持180°。

但世上的纸，可不一定都是平展的。把一个皮球剪开剖成两半，取其中任意一块，不论你怎样拉扯半球的外表面都不可能紧紧与桌面相贴合——中间总是要凸起一部分。再把一游泳圈拿来，这回需要动三刀：两刀截下其中一段，再沿其外圈剪开，你将得到一张马鞍形的皮膜，把它放到桌面上，不论怎样按压——两端总是高高翘起。在这些特殊的面上画三角形，结果会怎样呢？

图1为球体表面的三角形，与平面上的哥们儿比起来，它长胖了。此时，若测量其内角之和，你将得到一大于180°的数值！不信？脚下就有个生动的例证：站在地球南极极点，沿着经线往北走1千米，转身朝西走1千米，再次转身，沿着另一根经线往南走1千米，低头一看——你又回到了南极点上。三条路线首尾相连，构成一闭合图形：“胖三角”，而你从南往西再由西向北，每个转角都是方方正正的90°，加起来刚好180°，剩下那个夹角不论多大，添上去都妥妥地超越了180°。再看图3，马鞍表面的三角形则显得有些瘦弱，经过测算可知：其内角之和小于180°。

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